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» exercices on Cl(2) «
« _____________________________ »
Cl(2)
trace=0
« 1. a=e2-e12, b=e1+e2, c=e0+e2. compare a b, a c «
do(a=e2-e12, b=e1+e2, c=e0+e2)
print(« ab = », gp(a,b), « ac = », gp(a,c))
» a b = a c with b # c«
« »
« 2. a=e2+e12, b=1/2(e0+e1). compare a b, b a«
do(a=e2+e12, b=1/2(e0+e1))
print(« ab = », gp(a,b), « ba = », gp(b,a))
« a b = 0 ≠ b a = 0 and b a = a b ≠1 «
« »
« 3. a=e0+e1, b=-e0+e1, c=e1+e2 compare a b, b a, a c, c a, b c, c b«
do(a=e0+e1, b=-e0+e1, c=e1+e2)
print(« ab = », gp(a,b), « ba = », gp(b,a), « ac = », gp(a,c), « ca = », gp(c,a),
« bc = », gp(b,c), « cb = », gp(c,b))
» a b = b a = 0 # a c = 0 or c a = 0«
« »
« 4. a=1/2(e0+e1), b=e1+e12. compute a^2, b^2«
do(a=1/2(e0+e1), b=e1+e12)
print(« a^2 = », gp(a,a), « b^2 = », gp(b,b))
» a^2=a, b^2=0«
« »
« 5. a=e1-2e2, b=e1+e2, r=5e1-e2 »
» compute x et y in the decomposition r=x*a+y*b. x,y, scalars «
do(a=e1-2e2, b=e1+e2, r=5e1-e2)
(x*a + y*b)[2]
(x*a + y*b)[3]
print( » x+y= 5″, « -2x+y=-1 »)
» solve ==> r=2a+3b «
print( » direct calculation : x=outp(r,b)/outp(a,b). y=outp(a,r)/outp(a,b) »)
print(« x= », gp(outp(r,b), inverse(outp(a,b))))
print(« y= », gp(outp(a,r), inverse(outp(a,b))))
« »
« 6. a=8e1-e2, b=2e1+e2. compute a|| and a _|_ «
do(a=8e1-e2, b=2e1+e2)
» a || a.b/b »
gp(inp(a,b), inverse(b))
» a _|_ a^b/b »
gp(outp(a,b) ,inverse(b))
« »
« 7. r=4e1-3e2, a=3e1-e2, b=2e1+e2 »
» reflect r across a and the result across b«
do(r=4e1-3e2, a=3e1-e2 ,b=2e1+e2)
» r across a x=ar/a »
x=gp(gp(a,r),inverse(a))
print(« x = », gp(gp(a,r),inverse(a)))
» result across b bx/b »
gp(gp(b,x),inverse(b))
« »
« 8. u conj(u) = a scalar ?«
u=u0 e0+u1 e1+u2 e2+u12 e12
print(gp(u,cj(u)))
print(gp(cj(u),u))
» cj(u) = u0 e0 – u1 e1 – u2 e2 – u12 e12 «
» u cj(u) = cj(u) u «
» u 1/u = u cj(u)/u cj(u) «
« »
« 9. u=e0+e1+e12. compute inverse(u)«
do(u=e0+e1+e12, v=e0+e1+e2-2e12)
print(« inverse(u) = »,inverse(u))
« »
#gp(invol(u),inverse(gp(invol(u),u)))
print( » invol(u) = u0 e0 – u1 e1 – u2 e2 + u12 e12 « )
print( » cj(u) = u0 e0 – u1 e1 – u2 e2 – u12 e12 « )
print( » rev(u) = u0 e0 + u1 e1 + u2 e2 – u12 e12 « )
« »
print( » invol(u) = cj(rev(u)) = rev(cj(u)) « )
print(« . check(invol(u)==cj(rev(u))) »)
check(invol(u)==cj(rev(u)))
print(« . check(invol(u)==rev(cj(u))) »)
check(invol(u)==rev(cj(u)))
print( » inverse(u) = invol(u) u / invol(u) « )
gp(inverse(gp(invol(u),u)),invol(u))
« »
print( » inverse(u) = rev(u) / (u rev(u)) « )
gp(rev(u),inverse(gp(u,rev(u))))
« »
print(« . rev(rev(u))=u rev(u v)=rev(v) rev(u) « )
print(« . check(u==rev(rev(u))) »)
check(u==rev(rev(u)))
print(« . check(rev(gp(u,v)),gp(rev(v),rev(u))) »)
check(rev(gp(u,v)),gp(rev(v),rev(u)))
print( » cj(cj(u))=u cj(u v)=cj(v) cj(u) »)
print(« . check(u==cj(cj(u))) »)
check(u==cj(cj(u)))
print(« . check(cj(gp(u,v)),gp(cj(v),cj(u))) »)
check(cj(gp(u,v)),gp(cj(v),cj(u)))
« _____________________________ »
« exercices on complex numbers «
« _____________________________ »
« »
« 1. compute 1/(3+4i) sqrt(3+4i) log(-1+i) «
float(1.3+4i)
float(sqrt(3+4i))
float(-1+i)
« »
f(n)=product(k,1,n,1-exp(2k*pi*i/n))
« _____________________________ »
« exercices on Cl(3). «
« _____________________________ »
Cl(3)
« 1. find the area of the triangle with vertices«
print( » (1,-4,-6) (5,-4,-2) (0,0,0) « )
do(a=e1-4e2-6e3,b=5e1-4e2-2e3)
print( » area = « ,1/2 magnitude(outp(a,b)))
« »
« 2. find the volume of the paralelepipede with edges «
print(« a=2e1-3e2+4e3 b=e1+2e2-e3 c=3e1-e2+2e3 « )
do(a=2e1-3e2+4e3, b=e1+2e2-e3, c=3e1-e2+2e3)
print(« . volume = « , magnitude(outp(outp(a,b),c)))
« »
« 3. find the square of the volume element e123 «
gp(e123,e123)
« »
« 4. show that e123 commute with e1, e2, e3 «
check(gp(e123,e1)==gp(e1,e123))
check(gp(e123,e2)==gp(e2, e123))
check(gp(e123,e3)==gp(e3,e123))
« »
« 5. find the inverse of B=3e12+e23. «
print( » inverse(3e12+e23) = »,inverse(3e12+e23))
« »
« 6. let a=2e1+3e2+7e3 B=4e12+5e13-e23. compute a^B and a_|B «
do(a=2e1+3e2+7e3,B=4e12+5e13-e23)
outp(a,B)
inp(a,B)
« »
« 7. let a=3e1+4e2+7e3. B=7e12+e13. compute || and _|_ components«
do(a=3e1+4e2+7e3,B=7e12+e13)
print( » parallel component : x|| = x.B/B », gp(inp(a,B),inverse(B)))
print( » perpendicular component : x_|_ = x^B/B », gp(outp(a,B),inverse(B)))
« »
« 10. show that x|_y = x.y «
» rigth contraction : rc(u,v) »
do(x = x1 e1 + X2 e2 + x3 e3,y=y1 e1 + y2 e2 + y3 e3)
check(rc(x,y)==inp(x,y))
« »
u2=quote(u2)
u3=quote(u3)
print(« 12. show that (u _| v) |_ w = u _| (v |_ w) « )
u=u0*e0 + u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 + u12 e12 + u13 e13 + u23 e23 + u123 e123
v=v0 e0 + v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 + v12 e12 + v13 e13 + v23 e23 + v123 e123
w=w0 e0 + w1 e1 + w2 e2 + w3 e3 + w12 e12 + w13 e13 + w23 e23 + w123 e123
check(rc(lc(u,v),w) == lc(u,rc(v,w)))
« »
« 14. show that u x = u |_ x + u ^ x «
check(gp(u,x)==rc(u,x)+outp(u,x))
« »
« 15. show that u^v-v^u = grade 2 «
« »
u=u0 e0 + u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 + u12 e12 + u13 e13 + u23 e23 + u123 e123
v=v0 e0 + v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 + v12 e12 + v13 e13 + v23 e23 + v123 e123
dispgrd(outp(u,v)-outp(v,u))
« »
« 15. show that. u v – v u = grade 1 + grade 2 «
« »
u=u0 e0 + u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 + u12 e12 + u13 e13 + u23 e23 + u123 e123
v=v0 e0 + v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 + v12 e12 + v13 e13 + v23 e23 + v123 e123
dispgrd(gp(u,v)-gp(v,u))
« »
u=u0*e0 + u1*e1 + u2*e2 + u3*e3 + u12*e12 + u13*e13 + u23*e23 + u123*e123
print(« 18. show that 1 _| u = u « )
lc(e0,u)
« »
« _____________________________ »
« »
« 1. compute (a+be123)(a+be123) a and b vectors «
» (a+be123)(a+be123) = a.a-b.b+2(a.b)e123 «
« »
« 2. compute p^2 q^2 and p q p=1/2(e0+e3) and q=1/2(e0-e3)«
do(p=1/2(e0+e3), q=1/2(e0-e3))
gp(p,p)
gp(q,q)
gp(p,q)
» p^2=p q^2=q p and q idempotents. «
» pq=0 ==> there are 0 division in Clifford algebra«
« »
» 3. compute square of 1/2(1+e3)+1/2(1-e3)e12 and 1/2(1+e3)-1/2(1-e3)e12 «
gp(p+gp(q,e12),p+gp(q,e12))
gp(p-gp(q,e12),p-gp(q,e12))
» = e3 ==> vectors can have square roots »
« »
« 5. find exponentials of pi/2(1-e3)e12 and -pi/2(1-e3)e12«
rnd(exp1(pi/2 gp(e0-e3,e12)),3)
rnd(exp1(-pi/2 gp(e0-e3,e12)),3)
» = e3 ==> vectors also have logarithm «
« »
do(a=quote(a),b=quote(b),n=quote(n))
« »
« 6. «
a=a1 e1+a2 e2+a3 e3
b=b1 e1+b2 e2+b3 e3
u=m*e0+a+gp(b,e123)+gp((n*e0), e123)
gp(u,cj(u))
» u cj(u) = m^2-n^2-a.a+b.b+2(mn-a.b)e123 «
« »
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